三角比の定義

線分ABを直径とする円の周上に点Cをとります。
三角形ABCは角Cを直角とする直角三角形です。
角A に注目して，∠BAC = θ とおきます。
角B を 角A の余角 と呼ぶことにします。
∠BAC + ∠ ABC = 90°,  ∠ABC = 90° - θ

弦BC を 角A の正弦 と呼ぶことにします。
弦AC, 角B の正弦 を 角A の余弦 と呼ぶことにします。
この見方が三角比の名前の由来なのではないかと感じています。

直角三角形ABCにおいて，
直径に対するA の正弦の長さの比を，角A の正弦(sine)と呼ぶことにします。 \(\sin A=\dfrac{\rm BC}{\rm AB}\)
直径に対するA の余弦の長さの比を，角A の余弦(cosine)と呼ぶことにします。 \(\cos A=\dfrac{\rm AC}{\rm AB}\)
A の余弦に対するA の正弦の長さの比を，角A の正接(tangent)と呼ぶことにします。 \(\tan A=\dfrac{\rm AB}{\rm AC}\)
A の正弦に対するA の余弦の長さの比を，角A の余接(cotangent)と呼ぶことにします。 \(\cot A=\dfrac{\rm AC}{\rm AB}\)

この定義により，直ちに
sin B = cos A, sin(90° - θ) = cos θ
cos B = sin A, cos(90° - θ) = sin θ
tan B = cot A, tan(90° - θ) = cot θ
これらを 余角の公式 と呼ぶことにします。
公式というより，定義の一部のような気がしています。

点C を移動させ，角A の大きさを大きくすると，
sin A の値は増加します。ただし，正の値をとり 1 を超えることはありません。
cos A の値は減少します。ただし，正の値をとり 1 を超えることはありません。
tan A の値は増加します。ただし，正の値をとり いくらでも大きくなることができます。

有名角の三角比
正三角形の半分の直角三角形や，正方形の半分の直角二等辺三角形を考えると，
次のことが分かります。
sin 30° = \(\dfrac{1}{2}\),  cos 30° = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),  tan 30° = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
sin 45° = \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\),  cos 45° = \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\),  tan 45° = 1
sin 60° = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),  cos 60° = \(\dfrac{1}{2}\),  tan 60° = \(\sqrt{3}\)
これらの値に習熟していると問題を解くのに便利ですが， 有名角だけなら 1 : \(\sqrt{3}\) : 2,  1 : 1 : \(\sqrt{2}\) を唱えていればなんとかなるので， ちょっとガラパゴス数学 のような気がしています。