2次関数

　関数 f(x) が x の2次式で表されるとき， f(x) は2次関数であるといいます。
f(x) = ax² + bx + c

　関数のグラフとは 点 (x, f(x)) の集合です。
関数 y = ax² のグラフは，放物線になります。
a > 0 のとき，下に凸の放物線
a < 0 のとき，上に凸の放物線 です。
f(x) = ax² とするとき，
任意の x に対して f(-x) = f(x) ですから， グラフは y軸に関して対称です。 対称軸のことを　単に 軸 といいます。
x ≧ 0 のとき，単調に増加し，
x ≦ 0 のとき，単調に減少します。
したがって，関数の値は x = 0 で最小値 0 をとります。
グラフでは 原点 (0, 0) が頂点として現れます。
x軸とグラフはこの頂点で1点を共有しています。 このような状態のとき，グラフは x軸と接しているといいます。

　y = ax² + bx + c について， これを使って 定数 a, b, c を変化させてグラフの様子を見てみましょう。

　a, b を固定して，cだけ変化させると，
c を増加させると，曲線は上方に移動します。
c を減少させると，曲線は下方に移動します。
正確にいうと，グラフは y軸方向に c だけ平行移動します。

　cを固定して，a, bを変化させてみます。
どんなa, b に対しても，グラフは (0, c) を通ることが分かります。
ax² + bx + c の値が， x を 0 とすると，a, b をどのようにとっても c となるからです。

　a を 正の値で固定します。
b の値を変化させると，曲線は平行移動しますが，
b が増加すると，軸は左に移動
b が減少すると，軸は右に移動します。
b が0であれば，軸は y軸
b が正であれば，軸は y軸よりも 左 に
b が負であれば，軸は y軸よりも 右 にあります。
a > 0, b > 0 のとき，
f(x) = ax² + bx + c について，
少なくとも x ≧ 0においては，f(x) の値は単調に増加します。
放物線 y = f(x) には軸があるはずですから， y軸よりも右にないのであれば，左にあるはずです。
a > 0, b < 0 のときは，
少なくとも x ≦ 0においては，f(x) の値は単調に減少します。
軸は，y軸よりも左にないのであれば，右にあるはずです。

　a を 負の値で固定します。
b の値を変化させると，曲線は平行移動しますが，
b が増加すると，軸は右に移動
b が減少すると，軸は左に移動します。
b が0であれば，軸は y軸
b が正であれば，軸は y軸よりも 右 に
b が負であれば，軸は y軸よりも 左 にあります。
a < 0, b < 0 のとき，
少なくとも x ≧ 0においては，f(x) の値は単調に減少します。
y軸よりも右にないのであれば，左にあるはずです。
a < 0, b > 0 のときは，
少なくとも x ≦ 0においては，f(x) の値は単調に増加します。
軸は，y軸よりも左にないのであれば，右にあるはずです。

　もう少し詳しく，軸はどこにあるのでしょうか。
ax² + bx とx のある項が2つあるのが， 説明しにくくしています。
次 で考察してみたいと思います。