170703 初版 170703 更新
原点Oをとして，平面上に点 P(x, y) をとります。
また，点 A(1, 0) とします。
三角関数の定義により，角POA を θ とします。
OPの長さを r とすると，(すなわち，\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)… ①)
点P の x座標は x = r cos θ,
y座標は y = r sin θ
となります。
また，直線OP の傾きは tan θ です。
繰り返しになりますが，これは三角関数の定義と同等です。
これより，任意のθ について，
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) … ② が成り立ちます。
① より
\(\left(\dfrac{y}{r}\right)^2+\left(\dfrac{x}{r}\right)^2=1\)
これより，任意のθ について，
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) … ③ が成り立ちます。
② ③ の２つは，三角関数の相互関係といわれます。
また，この２つより \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\) が成り立ちます。