三角関数の定義

　点O を端点とする半直線OA があるとします。 ある基準の状態を 始線 と呼ぶことにします。
また，OA = r とします。

　半直線OA をO を中心に始線からθ だけ回転した状態を 角θ の動径 と呼ぶことにします。 このときの点A を点P と呼びなおすことにします。
点A の A からP までの移動距離(道程)は 弧度法の定義により， rθ となります。

　点P から始線またはその延長上に垂線を下ろします。 垂線の足をH とします。 線分OH の長さを xとして，Hが始線上にあるときは正の数， 延長上にあるときは負の数とします。
　OP を対角線とする長方形OHPK を考えます。 線分OK の長さを yとします。 OからみてA を右にあるとして，Kが直線OA の上にあるときは正の数， 下にあるときは負の数とします。
　そのとき，θ の三角関数の値を次のように定義します。 (図にしてみました。)
\(\sin\theta=\dfrac{y}{r}\),  \(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\),  \(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)

　有名角に対する 三角関数の値を表にしておきます。

θ	0	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\dfrac{2}{3}\pi\)	\(\dfrac{3}{4}\pi\)	\(\dfrac{5}{6}\pi\)	\(\pi\)
sin θ	0	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	1	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	0
cos θ	1	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	0	\(-\dfrac{1}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)
tan θ	0	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)	1	\(\sqrt{3}\)	なし	\(-\sqrt{3}\)	\(-1\)	\(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)	0

　また， \(n\) を任意の整数として，
\(\theta=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) で，\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\)
\(\theta=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\) で，\(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\)
\(\theta=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) で，tan θ = 1
となります。
定義より，任意の θ に対して， \(\sin\left(\theta+2\pi\right)=\sin \theta\) が成り立ちます。 関数 sin θ は周期 2π をもつといいます。
cos θ の周期は 2π， tan θ は π です。