130126 初版
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三角形ABC は, 直角三角形とする。
角ACBが直角,ABを斜辺とする。
AB = c,  BC = a,  CA = b,  とおくと,  a² + b² = c²

証明はいろいろあるが,

第1余弦定理の説明と同じように,C から AB へ垂線 CH を引く。
三角形ABC, ACH, CBH は相似である。
ことを使う。
AB:BC:CA = AC:CH:HA = CB:BH:HC = c:a:b であるから,
\({\rm AH}=\dfrac{b^2}{c}\),  \({\rm BH}=\dfrac{a^2}{c}\), 
AH + BH = AB だから \(\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c\)
すなわち,\(a^2+b^2=c^2\)
三角比の定義を 使ってもよい。
直角三角形ABC において,
\(\cos A=\dfrac{b}{c}\),   \(\cos B=\dfrac{a}{c}\)
三角形ACH で,\({\rm AH}=b\cos A=\dfrac{b^2}{c}\),  三角形ABH で,\({\rm BH}=a\cos B=\dfrac{a^2}{c}\)
AH + BH = AB だから \(\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c\)
第1余弦定理の 特別な場合である。

また,三角関数の相互関係が導かれる。

直角三角形ABC において,
\(\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c\) より, \(\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2=1\)
三角比の定義により, \(\cos A=\dfrac{b}{c}\),   \(\sin A=\dfrac{a}{c}\)
ゆえに,\(\sin^2A+\cos^2A=1\)