ピタゴラスの定理

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三角形ABC は，直角三角形とする。
角ACBが直角，ABを斜辺とする。
AB = c, BC = a, CA = b, とおくと， a² + b² = c²

証明はいろいろあるが，

第1余弦定理の説明と同じように，C から AB へ垂線 CH を引く。
三角形ABC, ACH, CBH は相似である。

ことを使う。

AB:BC:CA = AC:CH:HA = CB:BH:HC = c:a:b であるから，

${\rm AH}=\dfrac{b^2}{c}$ ,

${\rm BH}=\dfrac{a^2}{c}$ ,
AH + BH = AB だから

$\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c$
すなわち，

$a^2+b^2=c^2$

三角比の定義を使ってもよい。

直角三角形ABC において，

$\cos A=\dfrac{b}{c}$ ,

$\cos B=\dfrac{a}{c}$
三角形ACH で，

${\rm AH}=b\cos A=\dfrac{b^2}{c}$ , 三角形ABH で，

${\rm BH}=a\cos B=\dfrac{a^2}{c}$
AH + BH = AB だから

$\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c$
第1余弦定理の特別な場合である。

また，三角関数の相互関係が導かれる。

直角三角形ABC において，

$\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c$ より，

$\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2=1$
三角比の定義により，

$\cos A=\dfrac{b}{c}$ ,

$\sin A=\dfrac{a}{c}$
ゆえに，

$\sin^2A+\cos^2A=1$