合成関数

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121213 初版
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関数とは定義域と値域逆関数合成関数

$y$ は

$x$ の関数であるとは，
2つの集合A, Bがあって，
AからBへの対応が，
Aのある元

$x$ ひとつに対して，
Bの元

$y$ がひとつだけ結びついている状態のこと。

であった。

$x$	$a_1$	$a_2$	$a_3$
$y$	$b_1$	$b_2$	$b_3$

この対応を関数

$y=f(x)$

$x$	$b_1$	$b_2$	$b_3$
$y$	$c_1$	$c_2$	$c_3$

この対応を関数

$y=g(x)$ とするとき，

$x$	$a_1$	$a_2$	$a_3$
$y$	$c_1$	$c_2$	$c_3$

この対応を

$f$ と

$g$ の合成関数といい，

$(g\circ f)(x)$ とかく。

$(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$ である。

注意が2つある。

ひとつは，
上の例は，さも

$f$ と

$g$ がつながっているように

$a_1$ などを設定しているが，
実際には，

$f(a)=b$ とすると，

$b$ を

$g(x)$ の定義域の中から探して，

$g(b)$ を求めている。

ふたつめは，
つまり，

$g(x)$ の定義域は

$f(x)$ の値域を含むべきだと考えられていること，
でなければ，

$g\circ f$ は定義すべきではないと考えられていること。
でも，実際には

$f(x)$ の定義域が制限されるだけではないかということ。

$f(x)=x-2$ , $g(x)=x^2+1$ とするとき，

$(g\circ f)(x)=(x-2)^2+1$

$(f\circ g)(x)=x^2-1$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g(x)$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$	$10$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$(g\circ f)(x)$	$17$	$10$	$5$	$2$	$1$	$2$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$(f\circ g)(x)$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$	$8$

$f(x)=x+1$ , $g(x)=\sqrt{x}$ とするとき，

$(g\circ f)(x)=\sqrt{x+1}$

$(f\circ g)(x)=\sqrt{x}+1$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g(x)$	nil	nil	$0$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$(g\circ f)(x)$	nil	$0$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	$2$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$(f\circ g)(x)$	nil	nil	$1$	$2$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{3}+1$