対数の性質

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数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
高校で考察する関数も，表を用いて書くのがよいと思う。

逆の考えは、とても基本的な考えである。
数学には逆の考えがふたつある。
ひとつは，逆の命題。
ふたつめは，逆の対応である。

指数関数には次のような性質があった。

指数法則

x	m	n	m+n
$a^x$	M	N	MN

ここで

$M=a^m$ ,

$N=a^n$ ,

$MN=a^{m+n}$
(A)

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
(B)

$(a^m)^n=a^{mn}$

対数関数は，この逆関数だから，表の上下を入れ替えて，

対数の性質

x	M	N	MN
$\log_ax$	m	n	m+n

ここで

$m=\log_aM$ ,

$n=\log_aN$ ,

$m+n=\log_a{MN}$
(A)

$\log_aM+\log_aN=\log_a{MN}$
(B) (A)を繰り返し用いると,

$p\log_aM=\log_aM^p$

例:

$\log_{10}2+\log_{10}5=\log_{10}10=1$

例:

$1000 < 2^{10}=1024 < 10000$ より，

$\dfrac{3}{10} < \log_{10} 2 < \dfrac{4}{10}$ (かなり大雑把だが)
2のn乗の対数 r を考えると，

$\dfrac{3}{10}n < r < \dfrac{4}{10}n$
n=27のとき，

$\dfrac{3}{10}n=8.1$ である。
一億は

$10^8$ であるから，

$2^{27}$ は一億を超える。