数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
高校で考察する関数も，
表を用いて書くのがよいと思う。
逆の考えは、とても基本的な考えである。
数学には逆の考えがふたつある。
ひとつは，逆の命題。
ふたつめは，
逆の対応
である。
\(f(x)=a^x\) の a を底と呼ぶ。
この頁では a > 1の場合を記す。
0 < a < 1の場合は
こちら
| \(x\) | … | -2 | \(-\dfrac{3}{2}\) | -1 | \(-\dfrac{1}{2}\) | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | 1 | \(\dfrac{3}{2}\) | 2 | \(\dfrac{5}{2}\) | 3 | … |
| \(f(x)\) | … | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 | \(\sqrt{2}\) | 2 | \(2\sqrt{2}\) | 4 | \(4\sqrt{2}\) | 8 | … |
この
逆関数
が，対数関数である。
指数関数\(2^x:\ x\mapsto 2^x\)の対応が1対1であるから，
逆対応は逆関数になる。
すなわち，
新しい記号が出てきた。確認しよう。
\(\log_ax\)はあくまで，ひとつの数を表している。
| x | … | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 | \(\sqrt{2}\) | 2 | \(2\sqrt{2}\) | 4 | \(4\sqrt{2}\) | 8 | … |
| \(\log_2x\) | … | -2 | \(-\dfrac{3}{2}\) | -1 | \(-\dfrac{1}{2}\) | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | 1 | \(\dfrac{3}{2}\) | 2 | \(\dfrac{5}{2}\) | 3 | … |
| x | +0 | … | \(\dfrac{1}{a}\) | … | 1 | … | a | … | +∞ |
| \(f(x)\) | -∞ | ↗ | -1 | ↗ | 0 | ↗ | 1 | ↗ | +∞ |
0 < a < 1の場合は こちら