131020 初版
数列 { an } は 初項 1, 公差 3 の等差数列
数列 { bn } は 初項 1, 公比 3 の等差数列とする。
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k\cdot b_k}\) を求めてみよう。
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(3k-2)3^{k-1}}\)
\(T=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k\cdot 3^{k-1}}\) とおいて
\(3T=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k\cdot 3^{k}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(k-1)\cdot 3^{k-1}+n\cdot 3^n}\)
\(3T=T-U+n\cdot 3^n\)
すなわち、\(2T=-U+n\cdot 3^n\)
ここで、
\(U=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}}\)
S = 3T-2U だから、
\(S=\dfrac{3}{2}(-U+n\cdot 3^n)-2U\)
\(=\dfrac{1}{2}(-7U+3n\cdot 3^n)\)
\(=\dfrac{1}{2}(\dfrac{-7}{2}(3^n-1)+3n\cdot 3^n)\)
\(=\dfrac{1}{4}((6n-7)3^n+7)\)