数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。
階差をとる考えは，一般項の特徴を見抜く，関数で言えば，微分に相当する考えである。
和の考えは，関数で言えば，積分に相当する考えである。
Σ という記号
数列 {an} の 初項から第n項までの和を
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\) とかく。
すなわち，\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}\)
Σ 記号はどんどん使って慣れたほうがいい。
そのうち，そんなものかと思うようになる。
恐れをなして使わないほうがますます疎遠になる。
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\) とする。
数列1
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| an |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| Sn |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
数列2
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| an |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
| Sn |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
数列3
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| an |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
| Sn |
1 |
3 |
7 |
15 |
31 |
63 |
127 |
255 |
数列4
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| an |
1 |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{4}\) |
\(\dfrac{1}{8}\) |
\(\dfrac{1}{16}\) |
\(\dfrac{1}{32}\) |
\(\dfrac{1}{64}\) |
\(\dfrac{1}{128}\) |
| Sn |
1 |
\(\dfrac{3}{2}\) |
\(\dfrac{7}{4}\) |
\(\dfrac{15}{8}\) |
\(\dfrac{31}{16}\) |
\(\dfrac{63}{32}\) |
\(\dfrac{127}{64}\) |
\(\dfrac{255}{128}\) |
数列5
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| an |
1 |
\(\dfrac{1}{3}\) |
\(\dfrac{1}{6}\) |
\(\dfrac{1}{10}\) |
\(\dfrac{1}{15}\) |
\(\dfrac{1}{21}\) |
\(\dfrac{1}{28}\) |
\(\dfrac{1}{36}\) |
| Sn |
1 |
\(\dfrac{4}{3}\) |
\(\dfrac{3}{2}\) |
\(\dfrac{8}{5}\) |
\(\dfrac{5}{3}\) |
\(\dfrac{12}{7}\) |
\(\dfrac{7}{4}\) |
\(\dfrac{16}{9}\) |
和とは本来は逐次的，帰納・再帰的考えである。
如何にか上手く一気に初項から第 n 項までの和を求めたいと思う。
高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。
\(S_{1}=a_1\),
\(n\geqq 2\) のとき \(S_{n}=S_{n-1}+a_n\)
逐次的(successive)計算
\(S_{2}=S_{1}+a_2=a_1+a_2\)
\(S_{3}=S_{2}+a_3=a_1+a_2+a_3\)
\(S_{4}=S_{3}+a_4=a_1+a_2+a_3+a_4\)
\(S_{5}=S_{4}+a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\)
…
\(S_{n}=S_{n-1}+a_{n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}a_k+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(S_{n}=S_{n-1}+a_{n}\)
\(S_{n-1}=S_{n-2}+a_{n-1}\), \(S_{n}=S_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)
\(S_{n-2}=S_{n-3}+a_{n-2}\), \(S_{n}=S_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)
…
\(S_{3}=S_{2}+a_{3}\), \(S_{n}=S_{2}+\displaystyle{\sum_{k=3}^{n}a_k}\)
\(S_{2}=a_{1}+a_{2}\), \(S_{n}=a_{1}+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}a_k=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}}\)
\(S_{2}-a_{1}=a_2\)
\(S_{3}-S_{2}=a_3\)
\(S_{4}-S_{3}=a_4\)
\(S_{5}-S_{4}=a_5\)
…
\(S_{n}-S_{n-1}=a_n\)
両辺それぞれ和を取る。
\(S_{n}-a_{1}=a_2+a_3+\cdots+a_{n}\)
すなわち，\(S_{n}=a_{1}+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
表では
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n\) |
| an |
\(a_1\) |
\(a_2\) |
\(a_3\) |
\(a_4\) |
… |
\(a_n\) |
| Sn |
\(a_1\) |
\(S_1+a_2\) |
\(S_2+a_3\) |
\(S_3+a_4\) |
… |
\(S_{n-1}+a_n\) |