141130 初版 141130 更新
f(x) を多項式とする。
曲線 y = f(x) の 点A(a, f(a)) における接線の方程式を，
y = g(x) とする。
このとき，f(x) - g(x) は (x - a)2 で割り切れる。
すなわち，g(x) は f(x) を (x - a)2 で割った余りである。
接線の方程式は，曲線の方程式を 完全平方式で割った余りである。
研究 スーパー組立除法
証明
f(x) を (x - a)2 で割り，
さらに その余りを x - a で割る。
\(f(x)=(x-a)^2\cdot q(x) + m(x-a)+n\) と表すことができる。
x に a を代入すると \(n=f(a)\) であることがわかる。
\(\displaystyle{f^\prime(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) であるが
\(f(a+h)-f(a)=h^2\cdot q(h)+mh\) だから，
\(f^\prime(a)=m\)
したがって，
\(g(x)=f^\prime(a)(x-a)+f(a)\) とおくと，
直線 y = g(x) は A(a, f(a)) における y = f(x) の接線に他ならないが
\(f(x)-g(x)=(x-a)^2\cdot q(x)\) がいえた。