等差数列 {an} は，
任意の自然数 n について，定数 d によって
an+1 = an + d
と定義される数列であった。
等差数列の 初項から第n項までの和 を一気に求める。
そのアイディアを学ぼう。
一般に 初項 a, 公差 d, 末項 l, 項数を n として
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1 |
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2 |
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3 |
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… |
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(n-2) |
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(n-1) |
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n |
| S |
= |
a |
+ |
a+d |
+ |
a+2d |
+ |
… |
+ |
l-2d |
+ |
l-d |
+ |
l |
| S |
= |
l |
+ |
l-d |
+ |
l-2d |
+ |
… |
+ |
a+2d |
+ |
a+d |
+ |
a |
| 2S |
= |
a+l |
+ |
a+l |
+ |
a+l |
+ |
… |
+ |
a+l |
+ |
a+l |
+ |
a+l |
上段と下段の和が途中も a+l であることも保証しておく。
どの k でも，② - ① = d,
④ - ③ = -d だから，
① + ③ = ② + ④ が
どの k でも成り立つ。
等差数列であることが効いている。
よって，
初項 a, 公差 d, 末項 l, 項数 n として，\(l=a+(n-1)d\)
\(a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(l-2d)+(l-d)+l=\dfrac{1}{2}n(a+l)=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a+(k-1)d)=\dfrac{1}{2}n(a+l)}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}(a+(k-1)d)=\sum_{k=1}^{n}(l-(k-1)d)}\)
\(\displaystyle{2S=\sum_{k=1}^{n}(a+(k-1)d)+\sum_{k=1}^{n}(l-(k-1)d)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(a+(k-1)d+l-(k-1)d\right)
=\sum_{k=1}^{n}\left(a+l\right)=(a+l)n}\)
この和の公式は台形の面積を求める公式と同じである。