\(x^2=a\) を満たす x を a の平方根という。
a = 0 ならば x = 0 である。
a < 0 ならば これを満たす実数 x はない。 ( 参考 )
a > 0 ならば これを満たす x のうち 正の数を \(\sqrt{a}\) と書く。

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\(x=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\) の分母は有理化することができる。 \(x=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)

\(x=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\) の2重根号ははずすことができる。
実際 \(x=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) と書けたとする。
\(x^2=8+4\sqrt{3}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}=8+4\sqrt{3}\)
a + b = 8 かつ ab = 12 ならば この等式を満たす。
a = 6, b = 2 はこれを満たすので，
\(\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)

\(x=\sqrt{4-\sqrt{15}}\) の2重根号ははずすことができる。
実際 \(x=\sqrt{a}-\sqrt{b}\) と書けたとする。
\(x^2=4-\sqrt{15}\)
\(a+b-2\sqrt{ab}=4-\sqrt{15}\)
2a + 2b = 8 かつ 4ab = 15 ならば この等式を満たす。
2a = 5, 2b = 3 はこれを満たすので，
\(\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)

\(x=\sqrt{2+\sqrt{2}}\) とする
\(x=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) … ① と書けたとする。
\(x^2=2+\sqrt{2}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}=2+\sqrt{2}\)
2a + 2b = 4 かつ 4ab = 2 ならば この等式を満たすが
2a, 2b は 2次方程式 \(t^2-4t+2=0\) の解で　無理数。
また，どんな有理数 a, b をもってしても ① とは 表せない。