150513 初版 150513 更新
パスカルの三角形
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(a + b)n の展開式における
an-rbr の項の係数を 二項係数 といい,   nCr と書く。
(ここでは，nCr は二項係数を表すと定義している。)
二項係数の性質

二項係数を並べたものを パスカルの三角形 という。
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1C0 1C1
2C0 2C1 2C2
3C0 3C1 3C2 3C3
4C0 4C1 4C2 4C3 4C4
5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5
6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6

性質

両端は 1
式で表せば， nC0 = nCn = 1
左右対称
式で表せば， nCr = nCn-r
両端以外のそれぞれの数は， その左上の数と右上の数の和
式で表せば， nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

3つめの性質は
\(a(a+b)^3\)= a4+3a3b+3a2b2+ab3
\(b(a+b)^3\)= a3b+3a2b2+3ab3+b4
\((a+b)^4\)= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1