151025 初版 151025 更新

複素数

虚数単位

2乗して -1 となる数の一つを \(i\) として,虚数単位という。
方程式 \(x^2=-1\) の解の一つである。
すなわち,\(i^2=-1\)

複素数

a, b を実数として, \(a + bi\) で表される数を複素数という。
集合 {\(a+bi\) | a, b は 実数} は複素数全体の集合である。
a + bi で一つの数を表している。
座標平面において 座標(a, b) で一つの点を表しているのと同じである。
a を実部,b を虚部という。
実部を先に書くのが慣例である。
α = a + bi において,
b = 0 ならば α は実数である。
実数の集合は複素数の集合の部分集合である。
b ≠ 0 のとき α は虚数であるという。
純虚数とは 虚数のうち 実部が 0 の数をいう。

複素数の相等

a, b, c, d を実数とする。
a + bi = c + di ⇔ a = c かつ b = d
特に,a + bi = 0 ⇔ a = b = 0

純虚数の和と積

\(ai + bi = (a+b)i\)
\((ai)\cdot(bi)=-ab\)
特に \((-i)^2=-1\)
\(-i\) も \(x^2=-1\) の解である。
\((x+i)(x-i)=x^2+1\) より,
\(x^2=-1\) なる \(x\) は \(i\) または \(-i\) に限る。

虚数は大小比較ができない

\(i^2=-1\) であるから,
\(i\) は 正の数としても負の数としても不合理である。