151114 初版 151114 更新
\(\alpha=a+bi\), \(\beta=c+di\) とする。
加法
\(\alpha+\beta = (a+c)+(b+d)i\)
減法
\(\alpha-\beta = (a-c)+(b-d)i\)
乗法
\(\alpha\beta = (ac-bd)+(ad+bc)i\)
除法
\(\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}-\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i\)
共役な複素数
\(\alpha=a+bi\) に対して \(a-bi\) を
\(\alpha\) の共役といい \(\overline{\alpha}\) で表す。
\(\alpha+\overline{\alpha}=2a\)
\(\alpha\overline{\alpha}=a^2+b^2\)
\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}+\overline{\mathstrut\beta}\),
\(\overline{\alpha-\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}-\overline{\beta}\),
\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}\cdot\overline{\beta}\),
\(\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}
=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\),
絶対値
\(\sqrt{\alpha\overline{\alpha}}\) を
\(\alpha\) の絶対値といい \(|\alpha|\) で表す。
すなわち，\(|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}\)
\(|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|\),
\(\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|
=\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}\),
\(|\alpha+\beta|\leqq |\alpha|+|\beta|\)