151222 初版 151222 更新
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n k^2\cdot r^{k-1}}\) とおく。
(1 - 3r + 3r2 - r3)S を考察する方法
多項式×等比型の和 バニシング(vanishing) 法 解説
n 項 の和が ほんの 12 項 で表すことができる。
| S |
= |
1・1 |
+ |
4・r |
+ |
9・r2 |
+ |
16・r3 |
+ |
… |
+ |
n2・rn-1 |
| -3rS |
= |
|
- |
3・r |
- |
12・r2 |
- |
27・r3 |
- |
… |
- |
3(n-1)2・rn-1 |
- |
3n2・rn |
| 3r2S |
= |
|
|
|
|
3・r2 |
+ |
12・r3 |
+ |
… |
+ |
3(n-2)2・rn-1 |
+ |
3(n-1)2・rn |
+ |
3n2・rn+1 |
| -r3S |
= |
|
|
|
|
|
- |
1・r3 |
- |
… |
- |
(n-3)2・rn-1 |
- |
(n-2)2・rn |
- |
(n-1)2・rn+1 |
- |
n2・rn+2 |
| したがって， |
| (1-3r+3r2-r3)S |
= |
1 |
+ |
r |
+ |
|
|
|
|
vanishing |
|
|
- |
(n+1)2・rn |
+ |
(3n2-(n-1)2)・rn+1 |
- |
n2・rn+2 |
なぜなら，
\((x+3)^2-3(x+2)^2+3(x+1)^2-x^2=0\) … ①
が成り立つから，途中の項は消滅(vanish)する。
また，① において，
x を -1 とすれば，
\(2^2-3\cdot 1^2=1\)
x を 0 とすれば，
\(3^2-3\cdot 2^2+3\cdot 1^2=0\)
x を n - 2 とすれば，
\(-3n^2+3(n-1)^2-(n-2)^2=-(n+1)^2\)
例 横浜市立大医学部 (2015)
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n k^p\cdot r^{k-1}}\)
この和も
同様な方法 で
求めることができる。