160126 初版 160126 更新
Σ 記号
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n}\)
階差数列
数列 {an} に対して，
bn = an+1 - an で定まる
数列 {bn} を，
{an} の階差数列という。
例:
数列 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n - 1, … の階差数列は
2, 2, 2, 2, …, 2, …
例:
数列 1, 3, 6, 10, 15, … の階差数列は
2, 3, 4, 5, …
例:
数列 1, 4, 9, 16, 25, … の階差数列は
3, 5, 7, 9, …
例:
数列 2, 4, 8, 16, 32, … の階差数列は
2, 4, 8, 16, …
もとの数列の復元
数列 {an} の階差数列を
{bn} とする。
すなわち，
\(b_n=a_{n+1}-a_n\)
このとき，
\(\displaystyle{
\sum_{k=1}^{n-1}b_k
}\)
\(\displaystyle{
=\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)
}\)
\(\displaystyle{
=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}
-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}
}\)
\(=a_n-a_1\)
したがって，
n≧2 のとき，
\(\displaystyle{
a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k
}\)