151116 初版 151116 更新
実数 k に対して,
sin θ = k を満たす θ を考えてみる。

k > 1 または k < -1 のとき
方程式を満たす θ はない。
k = 1 のとき
1周期に ひとつある。
\(\theta = \dfrac{\pi}{2}+2n\pi\)  (n は整数)
k = -1 のとき
1周期に ひとつある。
\(\theta = \dfrac{3}{2}\pi+2n\pi\)  (n は整数)
-1 < k < 1 のとき
1周期に ふたつある。
そのふたつを α, β とすると, ある整数 n があって,
α + β = (2n + 1) π

\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\) を満たす θ
一般には,
\(\theta = \dfrac{\pi}{6}+2n\pi\),  \(\dfrac{5}{6}\pi+2n\pi\)   (n は整数)
0 ≦ θ < 2π では,
\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\),  \(\dfrac{5}{6}\pi\)  

\(\sin\theta >\dfrac{1}{2}\) を満たす θ
一般には,
\(\dfrac{\pi}{6}+2n\pi < \theta\) \(< \dfrac{5}{6}\pi+2n\pi\)   (n は整数)
0 ≦ θ < 2π では,
\(\dfrac{\pi}{6} < \theta\) \(< \dfrac{5}{6}\pi\)  

\(\sin\theta <\dfrac{1}{2}\) を満たす θ
一般には,
\(-\dfrac{7}{6}\pi+2n\pi < \theta\) \(< \dfrac{\pi}{6}+2n\pi\)   (n は整数)
0 ≦ θ < 2π では,
\(0\leqq \theta < \dfrac{\pi}{6}\),  \(\dfrac{5}{6}\pi < \theta < 2\pi\)

その 1その 2その 3