http://goo.gl/MFRFj 121225 初版 131116 更新

まあねえ,数学はそういわれれば全部当たり前なんですよ。

どこかで見た問題でしょうか。
私の好きな問題です。

\(0 \leqq \alpha \leqq \pi\)として
\(\sin\alpha=\cos 2\beta\)
を満たすβについて考えよう。ただし,\(0\leqq\beta\leqq\pi\)とする。
表1
α 0 α \(\dfrac{\pi}{2}\) π-α π
\(\sin\alpha\) 0 k 1 k 0
表2
β 0 β \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{2}-\beta\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\dfrac{\pi}{2}+\beta\) \(\dfrac{3}{4}\pi\) π-β π
\(\cos 2\beta\) 1 k 0 -k -1 -k 0 k 1
たとえば,\(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\)のとき, \(\sin\alpha=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\)だから,
\(\cos 2\beta=\dfrac{1}{2}\)を満たすβのとり得る値は,
ひとつは,\(\beta_1=\dfrac{\pi}{6}\),   もうひとつは,\(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{5}{6}\pi\)の 二つである。
このように(cf. 表2), αの各値に対して,βのとり得る値は二つある。
そのうちの小さい方を\(\beta_1\),大きい方を\(\beta_2\)とすると,
\(\beta_2=\pi-\beta_1\),  \(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\) が 成り立つ。
\(y=\sin\left(\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\right)\)
が最大となるαの値とそのときの y の値を求めよう。
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) とおく。
\(\beta_1\),  \(\beta_2\) をαを用いて表そう。
\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)とする。
表1において, あるαに対して,\(k=\sin\alpha\)とおく。
表2において, \(\cos 2\beta_1=k\) なる \(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\)は,  (実は,\(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{4}\))
また,余角の公式により, \(\cos 2\beta_1=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1\right)\)
\(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1=\alpha\)より, \(\beta_1=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\)
ここで述べたように, \(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{3}{4}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi\)とする。
表1において, あるαに対して,\(k=\sin\alpha\)とおく。
表2において, \(\cos 2\beta_1=k\) なる \(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\)は,  (実は,\(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{4}\))
また,余角の公式により, \(\cos 2\beta_1=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1\right)\)
\(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1=\pi-\alpha\)より, \(\beta_1=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\)
ここで述べたように, \(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{5}{4}\pi-\dfrac{\alpha}{2}\)
\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)のとき,
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) \(=\alpha+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{6}\) \(=\dfrac{22\alpha+9\pi}{24}\)
だから, \(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \theta < \dfrac{5}{6}\pi\)
\(\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi\)のとき,
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) \(=\alpha-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{5}{12}\pi-\dfrac{\alpha}{6}\) \(=\dfrac{26\alpha+7\pi}{24}\)
だから, \(\dfrac{5}{6}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)
よって, \(0\leqq\alpha\leqq\pi\)のとき,
\(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3} \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)
\(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)のとき, \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)で y は最大となり
こちら すなわち\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)のとき
\(\theta=\dfrac{22\alpha+9\pi}{24}=\dfrac{\pi}{2}\)

よって,

y が最大となるαの値は\(\dfrac{3}{22}\pi\) であり,
そのときの y の値は1であることがわかる。

三角関数の性質がよく現れている問題である。
何がしんどいって,分数の計算が疲れる。