0 ≦ α ≦ π として
sin α = cos 2β
を満たす β について考えよう。
ただし，0 ≦ β ≦ π とする。

α に対して
小さいほうの β を β₁
大きいほうの β を β₂ とする。

たとえば，\(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\)のとき， \(\sin\alpha=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\)だから，
\(\cos 2\beta=\dfrac{1}{2}\)を満たすβのとり得る値は，
ひとつは，\(\beta_1=\dfrac{\pi}{6}\),   もうひとつは，\(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{5}{6}\pi\)の 二つである。

\(y=\sin\left(\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\right)\)
が最大となるαの値とそのときの y の値を求めよう。
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) とおく。

\(\beta_1\),  \(\beta_2\) をαを用いて表そう。

余角の公式 \(\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)  を用いて，
\(\sin \alpha = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta\right)\)
周期性により \(\alpha - \left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta\right)=2n\pi\) (n は整数)… ①
対称性により \(\alpha + \left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta\right)=(2n+1)\pi\) (n は整数)… ②

①より  \(\beta = \dfrac{(4n+1)\pi-2\alpha}{4}\) … ③
②より  \(\beta = \dfrac{-(4n+1)\pi+2\alpha}{4}\) … ④

0 ≦ α ≦ π,  0 ≦ β ≦ π だったから
③より  \(\beta = \dfrac{\pi-2\alpha}{4},  \dfrac{5\pi-2\alpha}{4}\)
④より  \(\beta = \dfrac{-\pi+2\alpha}{4},  \dfrac{3\pi+2\alpha}{4}\)

\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\) とする。 \(0\leqq\dfrac{\alpha}{2} < \dfrac{\pi}{4}\) に注意して，
\(\beta_1=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\),   \(\beta_2=\dfrac{3}{4}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\)

\(\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha \leqq \pi\) とする。 \(\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{\alpha}{2} \leqq \dfrac{\pi}{2}\) に注意して，
\(\beta_1=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\),  \(\beta_2=\dfrac{5}{4}\pi-\dfrac{\alpha}{2}\)

\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)のとき，
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) \(=\alpha+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{6}\) \(=\dfrac{22\alpha+9\pi}{24}\)
だから， \(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \theta < \dfrac{5}{6}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi\)のとき，
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) \(=\alpha-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{5}{12}\pi-\dfrac{\alpha}{6}\) \(=\dfrac{26\alpha+7\pi}{24}\)
だから， \(\dfrac{5}{6}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)

よって， \(0\leqq\alpha\leqq\pi\)のとき，
\(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3} \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)

\(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)のとき， \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)で y は最大
すなわち\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)のとき
\(\theta=\dfrac{22\alpha+9\pi}{24}=\dfrac{\pi}{2}\)

y が最大となるαの値は\(\dfrac{3}{22}\pi\) であり，
そのときの y の値は1であることがわかる。