定理 2 (Kanazawa's convolution)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} p+k\cr p\cr \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} q+n-k\cr q\cr \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} p+q+n+1\cr p+q+1\cr \end{array}\right) }\)

　まず，金沢先生からの問題を考察してみます。 普通に計算したのでは同じなので， 差分をとってみるというアイディアを使ってみます。
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{6} \left(\begin{array}{c} 2+k\cr 2\cr \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 8-k\cr 2\cr \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 11\cr 5\cr \end{array}\right) }\)

　引いた後の各項積の右側は， 自然数とみるのではなくて二項係数とみると， 一般の定式化が思いつきます。 これが，一般化と証明のアイディアです。 二項係数の性質につきるのです。
私たちは常に実感しているのですが， 教科書や参考書，予備校の入試問題解答など， 数学の問題に対する解答は美しすぎる。 そこに至るまで，設定をどう読み解いていったらよいか， 要求に近づくにはどうすればよいのかが， むしろほしい力，つけさせたい力ですよね。
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{6} \left(\begin{array}{c} 2+k\cr 2\cr \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 7-k\cr 1\cr \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 10\cr 4\cr \end{array}\right) }\)

　あとは，ちゃんと書くだけになります。 でも，定式化や記述力も問題解決の姿勢の一つです。

補題
\(\displaystyle{ S^{(p,q)}_n= \sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} p+k\cr p\cr \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} q+n-k\cr q\cr \end{array}\right) }\) とおくと，  \(S^{(p,q)}_n-S^{(p,q)}_{n-1}=S^{(p,q-1)}_n\)

補題は二項係数の性質を使うと得られます。
定理 2 の証明については，
\(\displaystyle{ S^{(p,q-1)}_n= \left(\begin{array}{c} p+q+n\cr p+q\cr \end{array}\right) }\) が成り立つと仮定すると
補題より  \(\displaystyle{ S^{(p,q)}_n= \sum_{k=0}^{n} S^{(p,q-1)}_k }\) \(=\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} p+q+k\cr p+q\cr \end{array}\right) }\)
定理 1 を用いて計算すると，結果は  \( S^{(p,q)}_n=\left(\begin{array}{c} p+q+n+1\cr p+q+1\cr \end{array}\right) \)

また，\(\displaystyle{ S^{(p,0)}_n =\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} p+k\cr p\cr \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} p+n+1\cr p+1\cr \end{array}\right) }\)
これは，定理 1 そのものです。