171105 初版 171105 更新
ベクトルの加法は 継足し とみるのがいいようです。
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AC}\)
加法の逆演算を減法といって，
\(\vec{x}\) を \(\vec{b}-\vec{a}\) とすると，
\(\vec{a}+\vec{x}=\vec{b}\)
\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}\) だから
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\) が成り立ちます。
直線OA上に点B があって，B は 線分OA を t : (1 - t) に分ける点とすると，
\(\overrightarrow{\rm OB}=t\overrightarrow{\rm OA}\)
二つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) に対して，
\(\vec{a}=\overrightarrow{\rm OA}\),
\(\vec{b}=\overrightarrow{\rm OB}\) なる3点 O, A, B をとります。
直線OA 上に B から垂線BH を下ろすと，
\(\overrightarrow{\rm OH}=t\overrightarrow{\rm OA}\) なる t があります。
このとき，\(t\cdot{\rm OA}^2\) を \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の内積といいます。
\(t=\cos \angle{\rm BOA}\) ですから，
\(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=
{\rm OA}\cdot{\rm OB}\cos\angle{\rm BOA}\)
2つのベクトルのなす角を θ とすると，
教科書にある \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) がいえます。
内積には次の性質があります。
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
\((k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)
\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\)