131116 初版 131116 更新
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sin α = sin β  sin と cos の直交性 
参考事項:
どこかで見たような問題  方程式 sin α = cos β  

α = β は sin α = sin β の十分条件であることは 明らかであるが，
必要条件ではない。
必要条件は
α - β = 2nπ … ① (n は整数)
または
α + β = (2n+1)π … ② (n は整数)

① は周期関数の性質である。

sin は周期 2π をもつから，β = α + 2π
一般には 整数 n に対して α - β = 2nπ … ①
公式では sin (θ + 2π) = sin θ と表される。
私たちは周期というと
どんな x に対しても f(x + p) = f(x) なる p のことと とらえるが，
f(x) が周期 p をもつ関数として，
x1 - x2 = np なる 整数 n が存在する ならば， f(x1) = f(x2)
のように，差が 周期の整数倍という考えは大切である。

② は sin 独特である。

正弦曲線は \(x = \dfrac{\pi}{2}\) に関して対称である。
\(\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)  すなわち α + β = π
これは，いわゆる補角の公式 sin (π - θ) = sin θ である。
α + β = π
β を1周期分スライドしたものを考えて，
α + (β - 2π) = π  すなわち α + β = 3π
一般には 整数 n に対して α + β = (2n+1)π … ② と表される。
補角の公式を周期だけスライドして sin (3π - θ) = sin θ