高校における解析学は，
関数の値の変化の様子を調べることが主題である。
関数は，
定義域に注意し，
増減を調べながら，極値，最大・最小，値域を調べることが問題である。
関数は，式やグラフで表現されるが，
案外，表も使い勝手がいい。
グラフは，一目で値の変化が分かる反面，
配慮する点が多く，敷居が高い場合がある。
その点，表は庶民的な感じがする。
そして，方程式・不等式は，
特に，不等式は，解析の
問題
である。
\(f(x)=\log_ax\) の a を底と呼ぶ。
この頁では
0 < a < 1の場合を記す。
a > 1の場合は
こちら
\(f(x)=\log_ax\) (底 a は正の数で1より小さいとする)
\(f(x)=\log_ax\) 0 < a < 1 のとき，
| x |
+0 |
… |
a |
… |
1 |
… |
\(\dfrac{1}{a}\) |
… |
+∞ |
| \(f(x)\) |
+∞ |
↘ |
1 |
↘ |
0 |
↘ |
-1 |
↘ |
-∞ |
\(f(x)=\log_\frac{1}{2}x\)
| x |
… |
\(\dfrac{1}{4}\) |
\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) |
1 |
\(\sqrt{2}\) |
2 |
\(2\sqrt{2}\) |
4 |
\(4\sqrt{2}\) |
8 |
… |
| \(f(x)\) |
… |
2 |
\(\dfrac{3}{2}\) |
1 |
\(\dfrac{1}{2}\) |
0 |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
-1 |
\(-\dfrac{3}{2}\) |
-2 |
\(-\dfrac{5}{2}\) |
-3 |
… |
方程式\(\log_\frac{1}{2}x = 4\)の解は，\(x = \dfrac{1}{16}\)
不等式\(\log_\frac{1}{2}x < 4\)の解は，\(x > \dfrac{1}{16}\)
不等式\(\log_\frac{1}{2}x > 4\)の解は，\(0 < x < \dfrac{1}{16}\)
方程式\(\log_\frac{1}{2}x = -4\)の解は，x = 16
不等式\(\log_\frac{1}{2}x < -4\)の解は，x > 16
不等式\(\log_\frac{1}{2}x > -4\)の解は，0 < x < 16
方程式\(\log_\frac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}\)の解は，\(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
不等式\(\log_\frac{1}{2}x < \dfrac{1}{2}\)の解は，\(x>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
不等式\(\log_\frac{1}{2}x > \dfrac{1}{2}\)の解は，\(0 < x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
グラフ
直線 y=0 を漸近線にもつ
式の上では，
\(0 < a < 1\), \(f(x)=\log_ax\) として，
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=+\infty}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}\)
0 < a < 1の場合は
こちら