等比数列の和を一気に求める。
その考えを学ぼう。
数列1
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1 |
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2 |
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3 |
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… |
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(n-2) |
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(n-1) |
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n |
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| S |
= |
1 |
+ |
2 |
+ |
4 |
+ |
… |
+ |
\(2^{n-3}\) |
+ |
\(2^{n-2}\) |
+ |
\(2^{n-1}\) |
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| 2S |
= |
|
|
2 |
+ |
4 |
+ |
… |
+ |
\(2^{n-3}\) |
+ |
\(2^{n-2}\) |
+ |
\(2^{n-1}\) |
+ |
\(2^{n}\) |
| -S |
= |
1 |
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|
|
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|
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- |
\(2^{n}\) |
よって，
\(1+2+4+\cdots+2^{n-3}+2^{n-2}+2^{n-1}=2^n-1\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=2^n-1}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}}\),
\(\displaystyle{2S=\sum_{k=1}^{n}2^k=\sum_{k=2}^{n+1}2^{k-1}
=\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}+2^n-1}\)
\(\displaystyle{S=2S-S=\sum_{k=2}^{n+1}2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=2^n-1}\)
等比数列で数を 横一列に並べる。公比を r とする。
一行目，第1項 から 第n項 まで n項 並べる。
二行目，r倍したものを n項 並べる。
一行目と二行目を比べると，一行目の 第1項 と二行目の 第n項 以外は同じ数が並ぶ。
数列2
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1 |
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2 |
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3 |
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… |
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(n-2) |
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(n-1) |
|
n |
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| S |
= |
1 |
+ |
\(\dfrac{1}{2}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{4}\) |
+ |
… |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n-3}}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n-2}}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n-1}}\) |
|
|
| \(\dfrac{1}{2}S\) |
= |
|
|
\(\dfrac{1}{2}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{4}\) |
+ |
… |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n-3}}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n-2}}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n-1}}\) |
+ |
\(\dfrac{1}{2^{n}}\) |
| \(\dfrac{1}{2}S\) |
= |
1 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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- |
\(\dfrac{1}{2^{n}}\) |
よって，
\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-3}}+\dfrac{1}{2^{n-2}}+\dfrac{1}{2^{n-1}}
=2\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right)\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}
=2\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right)}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}}\),
\(\displaystyle{\dfrac{1}{2}S=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}
=\sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{2^{k-1}}
=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}+\dfrac{1}{2^n}-1}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{2}S=S-\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^n}}\)
一般に 初項 a, 公比 r (\(r\not= 1\)), 項数を n として
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1 |
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2 |
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3 |
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… |
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(n-2) |
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(n-1) |
|
n |
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| S |
= |
a |
+ |
ar |
+ |
\(ar^2\) |
+ |
… |
+ |
\(ar^{n-3}\) |
+ |
\(ar^{n-2}\) |
+ |
\(ar^{n-1}\) |
| rS |
= |
|
|
ar |
+ |
\(ar^2\) |
+ |
… |
+ |
\(ar^{n-3}\) |
+ |
\(ar^{n-2}\) |
+ |
\(ar^{n-1}\) |
+ |
\(ar^{n}\) |
| (1-r)S |
= |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
- |
\(ar^n\) |
よって，
\(r\not= 1\) とする。項数は n とする。
\(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-3}+ar^{n-2}+ar^{n-1}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}}\),
\(\displaystyle{rS=\sum_{k=1}^{n}ar^k
=\sum_{k=2}^{n+1}ar^{k-1}
=\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}+a(r^n-1)}\)
\(\displaystyle{(r-1)S=a(r^n-1)}\)