130210 初版
トップページ
ネイピア(Napier)数 e の話をしよう。
オイラー(Euler)数 ともいう。
e についてのいろいろな式を見つけよう。
n は自然数とする。
直線 y=x+1 上の 2点 G(0,1), H\(\left(\dfrac{1}{n},1+\dfrac{1}{n}\right)\)
2点G, Hを通る指数関数のグラフ y=f(x), f(x)=ax を 考察する。
マウスをクリックすると，G と H の距離を半分にする。
\(a^{\frac{1}{n}}=1+\dfrac{1}{n}\) だから，
\(a=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\)
すなわち，
\(\displaystyle{e=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\)
こんな説明もある。
\(f(x)=\log_ax\) として，
x=1 における微分係数を考える。すなわち，
\(\displaystyle{k=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log_a(1+h)}{h}}\)
逆関数の性質により，a がネイピア数 e であるとき，k=1
\(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log_e(1+h)}{h}=
\lim_{h\rightarrow 0}\log_e(1+h)^{\frac{1}{h}}=1}\)
すなわち，
\(\displaystyle{e=\lim_{h\rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}}\)