面積の定義を与える
ある平面図形 D がある。
一本の数直線 x 軸を用意する。
数直線上の 点 x における軸と垂直方向の直線を考え，
図形 D を切り取る線分の長さを f(x) とする。
f(x) を
区間 a ≦ x ≦ b (図形 D の x軸方向の幅)で考え
数列 a ≦ x1 < x2 < x3 <
… < xk < … < xn ≦ b を与える。
数列 {wk} があって，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nw_k=b-a}\) を仮定する。
このとき，
リーマン和
\(\displaystyle{S(f,w;a,b)=\sum_{k=1}^nf(x_k)w_k}\) の極限
\(\displaystyle{S(f;a,b)=\int_a^bf(x)\ dx}\) を 図形 D の面積という
この定義は，アルキメデスたちの功績である。