等差数列

数列 {a_n}: 1, 4, 7, 10, 13, 16, ……
初項は1, 項に3 ずつ加えて得られる数列です。 自然数で，3で割って1余る数を小さい順に並べたといっても同じことです。
初項1, 公差3 の等差数列といいます。

　n によらず， a_n+1 - a_n が一定である数列を， 等差数列と呼んでいます。 その数を公差と呼んでいます。
公差を d とすると，

k = 1,	a2 - a1 = d
k = 2,	a3 - a2 = d
k = 3,	a4 - a3 = d
……	……………………
k = n-2,	an-1 - an-2 = d
k = n-1,	an - an-1 = d

n-1 本の等式の辺々を加えると， (vanishing 法 第2 です)
a_n - a₁ = (n - 1)d

　初項1, 公差3 の等差数列の一般項(特定の項との対義語でしょうか)は， 3n - 2 です。

　この数列{a_n} の初項から第n 項までの 和は
\(\dfrac{n(3n-1)}{2}\) です。

　等差数列ならば第n 項は，nの1次式になります。
　逆も言えます。実際，
a_n = pn + q とします。
a_n+1 - a_n = (p(n + 1) + q) - (pn + q) = p
したがって，数列{pn + q} は 公差がp の等差数列であることがいえました。