vanishing method 1st

等比数列の和を一気に求めるアイディアを， バニシング法第1 (vanishing method 1st) と呼ぶことにします。

S=	2	+ 6 + 18 + 54 + … + 2・3n-1
3S=		6 + 18 + 54 + … + 2・3n-1	+ 2・3n
-2S=	2		- 2・3n

ゆえに，S = 3ⁿ - 1

　一般には r が 1ではないとして， 公比がr である等比数列 {a_n} の初項から第n 項までの和S は，
\(S=\dfrac{a_1-a_n\cdot r}{1-r}\)
これを等比数列の和についてのFujita の公式と呼ぶことにします。 藤田岳彦先生による和の公式の解釈です。 n 項の和が高々2項でかけているところがポイントです。 ほとんどの項が消滅(vanishing)しています。

　数本の等式を加減することによって，ほとんどの項が消滅して n項の和を特定の数項の計算で行うことを vanishing 法 第1 と呼ぶことにします。

　Σ記号を使ってこの方法を表現してみます。
数列 {a_n} は公比 r の等比数列であるとします。
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}\) とおく。
\(\displaystyle{(1-r)S=\sum_{k=1}^n a_k}\) \(\displaystyle{-\sum_{k=1}^n a_k\cdot r}\)
等比数列だから \(a_k\cdot r=a_{k+1}\)，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}+a_n\cdot r}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n} a_k+a_n\cdot r}\)
したがって， \((1-r)S\)\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n a_k}\) \(\displaystyle{-\sum_{k=2}^{n} a_k-a_n\cdot r}\)
ゆえに，(1 - r)S = a₁ - a_n・r