展開と因数分解

　分配法則を用いることによって，2つの多項式には積(乗法)が定義できます。 例えば，
\((a+b)(a-b)\)
\(=(a+b)a-(a+b)b\)
\(=a^2+ba-ab-b^2\)
\(=a^2-b^2\)
このように，2つ以上の多項式の積を1つの多項式に同値変形することを， 積を展開すると呼んでいます。
　逆に a² - b² は (a + b) (a - b) と変形することが できますが，こちら向きの同値変形を 積に因数分解する と呼んでいます。
　(a + b)² を展開すると a² + 2ab + b²です。 a² - 2ab + b² は (a - b)² に 因数分解できます。

よくある展開
\((x+3)(x-5)=x^2-2x-15\)
\((2x+y)(3x-2y)=6x^2-xy-2y^2\)
\((3x-2)^2=9x^2-12x+4\)
\((3x+y)(3x-y)=9x^2-y^2\)
\((a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)
\((a-b+c)(a+b-c)=a^2-b^2-c^2+2bc\)
\((2x-y)^3=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\)

　展開は式を見る目を養います。例えば，
(a - b + c)(a + b - c)
= {a - (b - c)}{a + (b -c)}
= a² - (b - c)²
= a² - b² - c² + 2bc

　公式とはよく見る問題への対処法です。

• \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
• \((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
• \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
• \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
• \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
• \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

1番目と2番目は，たくさん練習すると因数分解の勘が養われます。