160524 初版 160524 更新
分配法則を用いることによって，2つの多項式には積(乗法)が定義できます。
例えば，
\((a+b)(a-b)\)
\(=(a+b)a-(a+b)b\)
\(=a^2+ba-ab-b^2\)
\(=a^2-b^2\)
このように，2つ以上の多項式の積を1つの多項式に同値変形することを，
積を
展開すると呼んでいます。
逆に a
2 - b
2 は (a + b) (a - b) と変形することが
できますが，こちら向きの同値変形を 積に
因数分解する と呼んでいます。
(a + b)
2 を展開すると a
2 + 2ab + b
2です。
a
2 - 2ab + b
2 は (a - b)
2 に
因数分解できます。
どんな多項式も因数分解できるとは限りません。
正確には，係数が有理数の範囲で因数分解できるとは限りません。
係数が有理数の範囲で因数分解できるかどうかは，
展開を注意深く観察しているかです。
(a - b)(x - y) を展開すると ax - ay - bx + by ですから，
P = ax + by - bx - ay は因数分解できるはずです。
この問題の手がかりはどうすればよいのでしょうか。
P = ax + by - bx - ay を 因数分解せよ。
分解せよといっているのだから，たぶんできるはずです。
ある文字に注目して整理するのがはじめの一手です。
x について整理してみましょう。
P = (a - b)x + by - ay
ここで，因数 a - b が見えてくれば問題は解決します。
P = (a - b)x + (b - a)y (わざとやっています)
= (a - b)x - (a - b)y = (a - b)(x - y)
公式とはよく見る問題への対処法です。
- \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
- \(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
- \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
- \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
- \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
- \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
因数分解 特に上の1番目と2番目が得意な人は展開に慣れている人だと思います。
例えば，\(x^2-x-6\) を因数分解したいとします。
\(x^2-x-6=(x+a)(x+b)\) となるはずですから，
掛けて -6, 足して -1 となる2数(整数)を見つけることになります。
その2つの数は -3 と 2 です。
よって，\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)
例えば，\(x^2-10x+25\) を因数分解したいとします。
数に親しんでいると 25 は 5 の2乗，10 は 5 の2倍であることに気づきますから，
\(x^2-10x+25=(x-5)^2\)
例えば，\(4x^2+10x-6\) を因数分解したいとします。
\(4x^2+5x-6=(ax+b)(cx+d)\) となるはずですから，
ac = 4, bd = -6, ad + bc = 5 となる4数(整数)を見つけることになります。
を候補として，(すべて挙げればこれだけではないのですが，)
\(\left(
\begin{array}{cc}
a & b\cr
c & d\cr
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 3\cr
1 & -2\cr
\end{array}
\right)\)
を選べば，ad + bc = -5 になりますから，
\(\left(
\begin{array}{cc}
a & b\cr
c & d\cr
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
4 & -3\cr
1 & 2\cr
\end{array}
\right)\)
とすれば，うまく行くことがわかります。
よって，\(4x^2+5x-6=(4x-3)(x+2)\)
次に，(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc の因数分解を考えて見ましょう。
(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc (a について整理したい)
= (a + b + c)(a(b + c) + bc) - abc
= a2(b + c) + a(b + c)2 + (b + c)bc
= (b + c)(a2 + a(b + c) + bc)
= (a + b)(b + c)(c + a)