等式

　\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\), \((x+1)^2=x^2+2x+1\), \(x(x+1)=6\)  のように，2つの式が等号で結ばれたものも 式と呼ばれることがあります。 違いを明らかにするときには，これを 関係式 と呼ぶことにします。 前2つは等号で結ばれた2つの式は同値です。 最後の1つは同値ではありません。 等式 A = B において，A と B が同値であるとき，つまり 文字がどのような値をとってもA と B の値が等しいとき， この等式は 恒等式 であるといいます。 そうでないとき，すなわち， ある値にしか等しくならないとき， 言い換えると，等しくなる値が制限されているとき，方程式 と呼びます。

　等式には次の性質があります。
a = b ならば，
任意の c について，a + c = b + c
任意の c について，a - c = b - c
任意の c について，ac = bc
0 でない任意の c について， \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\)

　2つの式 A, B の文字の並びが同じであるならば， 等式 A = B は恒等式になります。
　例えば， A = a(x + 1)² + b(x + 1) + c, B = 3x² + 2x + 1 として， (a, b, c) = (3, -4, 2) …① ならば，A = B は恒等式となります。
逆に，① は 恒等式になるための 必要条件でしょうか。 ① 以外に恒等式になることがあるでしょうか。
常に A = B ならば x = -1 のときに A と B は同じ値になるはずです。
したがって，c = 2 …② は必要条件の一つです。
x = 0 でも同じ値になるはずです。 したがって，a + b + c = 1 …③
同様に，x を 1 として， 4a + 2b + c = 6 …④
②③④ を同時に満たすのは ① だけですから， ① は恒等式になるための必要かつ十分な条件であるといえます。