180602 初版 180602 更新
2次式 \(ax^2+bx+c\) を \(a(x-p)^2+q\) の形に変形することを，
2次式の
平方完成
といいます。
\(x^2+4x+2=(x+2)^2-2\)ですから，
2次方程式\(x^2+4x+2=0\) の解は，
\(x=-2\pm\sqrt{2}\)
\(x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)ですから，
2次方程式\(x^2-2x+3=0\) の解は，
虚数解で\(x=1\pm\sqrt{2}i\)
\(2x^2+x-2=2\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{17}{8}\) ですから，
2次方程式\(2x^2+x-3=0\) の 2つの解の和は\(-\dfrac{1}{2}\)
であることがわかります。
一般に，
2次式は\(f(x)=ax^2+bx+c\)\(=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\)
と，変形できます。
2次方程式 \(f(x)=0\) の解は，
\(D=b^2-4ac\)とおいて，
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)
2つの解の和は\(-\dfrac{b}{a}\) です。
D = 0のとき，重解をもちます。
a, b, c が実数のとき，
D の値が正である ⇔ 異なる2つの実数解
D の値が負である ⇔ 共役な虚数解