2次方程式

f(x) = x² とします。
この関数は， x ≦ 0 で単調に減少， x ≧ 0 で単調に増加します。
x = 0 で 最小値 0 をとります。
また，f(3) = f(-3) = 9 のように，0 を基準にして対称です。
一般に f(a) = b とすると，f(-a) = b です。

方程式 f(x) = c について考えてみます。
c = 0 すなわち，
方程式 x² = 0 の解(方程式を満たす x の値)は x = 0 のみです。

c > 0 のとき，
方程式 x² = c の解は，正の数，負の数それぞれ1つずつです。
\(x^2=4\) の解は x = 2 または -2 です。
\(x^2=2\) …① を満たす x は有理数ではありません。
① を満たす正の数を \(\sqrt{2}\) と表したのでした。 (平方根) すなわち，\((\sqrt{2})^2=2\)
このとき，\((-\sqrt{2})^2=(-1)^2\cdot 2 = 2\) ですから， \(-\sqrt{2}\) も① の解となります。
また，\(\sqrt{4}\) は 2 と等しくなります。 特に，\(\sqrt{1}=1\).

α を実数とすると，α² は 0 以上の数となります。
c < 0 のとき，
方程式 x² = c の解は，実数ではありません。
\(x^2=-1\) …② を満たす数のうちの一つを虚数単位と呼んで， \(i\) と表します。 (虚数) すなわち，\(i^2=-1\), \(\sqrt{-1} = i\)
このとき，\((-i)^2=(-1)^2\cdot (-1)= -1\) ですから， \(-i\) も② の解となります。
\(x^2=-2\) の解は \(\sqrt{2}i\) または \(-\sqrt{2}i\) となります。
\(\sqrt{-3}\) は \(\sqrt{3}i\) と表すことができます。