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170104 初版 170104 更新
i は虚数単位とします。すなわち,i=√−1.
a, b を実数として,a+bi と表す数の集合を考えて,
複素数と呼びます。
2つの実数の組 (a, b) に対して,複素数の集合の元 a+bi が対応① します。
対応① は 1対1の対応とします。
つまり,a+bi=c+di とすると,
(a, b) = (c, d) が成り立ちます。
特に,(a, b) = (0, 0) は実数 0 を表します。0 を表すのはそのときに限ります。
複素数 α=a+bi の実数 a を α の実部,
実数 b を虚部といいます。
実部は虚部より先に書くのが慣例です。
b = 0 である複素数は実数を表しますので,
実数は複素数の部分集合です。
複素数のうち実数でないものを虚数といいます。
2つの純虚数に演算を入れます。
ai+bi=(a+b)i,
ai−bi=(a−b)i
(ai)⋅(bi)=−ab
aibi=ab
2つの複素数に演算を入れます。
α=a+bi, β=c+di とします。このとき,
共役 ¯α=a−bi
和 α+β=(a+c)+(b+d)i
差 α−β=(a−c)+(b−d)i
積 α⋅β=(ac−bd)+(ad+bc)i
絶対値 |α|2=α⋅¯α=a2+b2
商 αβ=α⋅¯β|β|=(ac+bd)−(ad−bc)ic2+d2
虚数単位 i は正の数でも負の数でもありません。
i2=−1 なので,正の数としても負の数としても不合理です。
一般に,虚数は大小比較ができません。
虚数単位 i は正の数でも負の数でもありません。
i2=−1 なので,正の数としても負の数としても不合理です。
一般に,虚数は大小比較ができません。
共役な複素数
α+¯α=2a
α¯α=a2+b2
¯α+β=¯(α+¯(β,
¯α−β=¯(α−¯β,
¯αβ=¯(α⋅¯β,
¯(αβ)=¯α¯β,
絶対値
|αβ|=|α||β|,
|αβ|=|α||β|,
|α+β|≦