170104 初版 170104 更新
\(i\) は虚数単位とします。すなわち，\(i=\sqrt{-1}\).
a, b を実数として，\(a+bi\) と表す数の集合を考えて，
複素数と呼びます。
2つの実数の組 (a, b) に対して，複素数の集合の元 \(a+bi\) が対応① します。
対応① は 1対1の対応とします。
つまり，\(a+bi=c+di\) とすると，
(a, b) = (c, d) が成り立ちます。
特に，(a, b) = (0, 0) は実数 0 を表します。0 を表すのはそのときに限ります。
複素数 \(\alpha = a + bi\) の実数 a を α の実部，
実数 b を虚部といいます。
実部は虚部より先に書くのが慣例です。
b = 0 である複素数は実数を表しますので，
実数は複素数の部分集合です。
複素数のうち実数でないものを虚数といいます。
2つの純虚数に演算を入れます。
\(ai+bi=(a+b)i\),
\(ai-bi=(a-b)i\)
\((ai)\cdot(bi)=-ab\)
\(\dfrac{ai}{bi}=\dfrac{a}{b}\)
2つの複素数に演算を入れます。
\(\alpha=a+bi\), \(\beta=c+di\) とします。このとき，
共役 \(\overline{\alpha}=a-bi\)
和 \(\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i\)
差 \(\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i\)
積 \(\alpha\cdot\beta=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
絶対値 \(|\alpha|^2=\alpha\cdot\overline{\alpha}=a^2+b^2\)
商 \(\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\alpha\cdot\overline{\beta}}{|\beta|}
=\dfrac{(ac+bd)-(ad-bc)i}{c^2+d^2}\)
虚数単位 \(i\) は正の数でも負の数でもありません。
\(i^2=-1\) なので，正の数としても負の数としても不合理です。
一般に，虚数は大小比較ができません。
虚数単位 \(i\) は正の数でも負の数でもありません。
\(i^2=-1\) なので，正の数としても負の数としても不合理です。
一般に，虚数は大小比較ができません。
共役な複素数
\(\alpha+\overline{\alpha}=2a\)
\(\alpha\overline{\alpha}=a^2+b^2\)
\(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}+\overline{\mathstrut\beta}\),
\(\overline{\alpha-\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}-\overline{\beta}\),
\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}\cdot\overline{\beta}\),
\(\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}
=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\),
絶対値
\(|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|\),
\(\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|
=\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}\),
\(|\alpha+\beta|\leqq |\alpha|+|\beta|\)