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虚数と複素数

170104 初版 170104 更新
i は虚数単位とします。すなわち,i=1.
a, b を実数として,a+bi と表す数の集合を考えて, 複素数と呼びます。
2つの実数の組 (a, b) に対して,複素数の集合の元 a+bi が対応① します。
対応① は 1対1の対応とします。
つまり,a+bi=c+di とすると, (a, b) = (c, d) が成り立ちます。
特に,(a, b) = (0, 0) は実数 0 を表します。0 を表すのはそのときに限ります。
複素数 α=a+bi の実数 a を α の実部, 実数 b を虚部といいます。 実部は虚部より先に書くのが慣例です。
b = 0 である複素数は実数を表しますので, 実数は複素数の部分集合です。
複素数のうち実数でないものを虚数といいます。
2つの純虚数に演算を入れます。
ai+bi=(a+b)i, aibi=(ab)i
(ai)(bi)=ab
aibi=ab
2つの複素数に演算を入れます。
α=a+bi, β=c+di とします。このとき,
共役 ¯α=abi
α+β=(a+c)+(b+d)i
αβ=(ac)+(bd)i
αβ=(acbd)+(ad+bc)i
絶対値 |α|2=α¯α=a2+b2
αβ=α¯β|β|=(ac+bd)(adbc)ic2+d2
虚数単位 i は正の数でも負の数でもありません。
i2=1 なので,正の数としても負の数としても不合理です。
一般に,虚数は大小比較ができません。
虚数単位 i は正の数でも負の数でもありません。
i2=1 なので,正の数としても負の数としても不合理です。
一般に,虚数は大小比較ができません。

共役な複素数

α+¯α=2a
α¯α=a2+b2
¯α+β=¯(α+¯(β,  ¯αβ=¯(α¯β, 
¯αβ=¯(α¯β,  ¯(αβ)=¯α¯β, 

絶対値

|αβ|=|α||β|,  |αβ|=|α||β|, 
|α+β|