160613 初版 160613 更新
x ≧ 0, y ≧ 0, 2x + 3y ≦ 12, 2x + y ≦ 8
を満たすとき， x + 2y のとりうる値の範囲 を求めてみましょう。
(x, y) のとりうる範囲，この不等式の表す領域を図示すると，
4点 O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, 4) を頂点とする四角形の周および内部になります。
この領域内で x + 2y の値を計算すると，
(x, y) = (0, 4) のとき 最大値 8
(x, y) = (0, 0) のとき 最小値 0 をとることが予想されます。
裏付けをしましょう。
x + 2y = k とおきます。
ある x を選んで固定します。
このとき，
y が 大きくなるほうが k は大きくなります。
したがって，最大となるためには (x, y) が少なくとも，
線分AB 上または BC 上にあることが必要です。
最小となるためには (x, y) が少なくとも，
線分OA 上にあることが必要です。
まず，線分OA 上の点について，考察してみます。
この点は y = 0 ですから，k が小さくなるためには x が小さいことが必要にして十分です。
したがって，(x, y) = (0, 0) で最小となることがいえました。
線分AB 上の点について，考察してみます。
x + 2y =k, 2x + y = 8 より，y を消去すると，
3x = 16 - k となります。
k が大きくなるためには x が小さいことが必要にして十分です。
線分AB 上では (x, y) = (3, 2) で最大となることがいえました。
線分BC 上の点について，考察してみます。
x + 2y = k, 2x + 3y = 12 より，y を消去すると，
x = 24 - 3k となります。
k が大きくなるためには x が小さいことが必要にして十分です。
線分BC 上では (x, y) = (0, 4) で最大となることがいえました。
したがって，
(x, y) = (0, 4) で最大となることがいえました。