161103 初版 161103 更新
平面上の点の座標 (x, y) について，x とy の方程式(関係式)を満たす点の集合を考えると，
ある図形を表します。
逆に，図形をその図形上の点の満たす関係式で表すことを考えます。
この考えをDescartes の考えということにします。
例えば，方程式 y = 2x + 3 で束縛する点の集まりは直線を表します。
いま，
A(0, 3), B(1, 5) はこの関係式を満たします。
つまり，この直線上にあります。
この方程式を満たすA, Bと異なる実数の組
P(x1, y1)をとります。
すなわち，\(y_1=2x_1+3\)
\(y_1-3=2x_1\) と変形します。
C(1, 3) をとると，AC : BC = 1 : 2
Q(x1, 3) をとると，AQ : PQ = 1 : 2
三角形ABC, APQ は相似だから，
A, B, Pは同じ直線上にあります。
逆に，点A(3, 1) を通り，傾きが3 の直線があったとします。
直線上のA と異なる点 P(x, y) について，傾きの定義より，
\(\dfrac{y-1}{x-3}=3\)
したがって，関係式 y = 3(x-3) + 1 が成り立ちます。
これは (x, y) = (3, 1) も満たします。
点A(3, 1), B(7, -1) で決まる直線ABがあったとします。
直線上の点 P(x, y) について，
C(7, 1), Q(x, 1)をとって，
2つの直角三角形ABC, APQは相似だから，
AC : BC = AQ : PQ
(x - 3) : (y - 1) = 4 : (-2)
したがって，関係式 (x - 3) + 2(y - 1) = 0 が成り立ちます。
これは (x, y) = (3, 1) も満たします。
方程式 y = 2 によって，y座標は 2 に固定されて，
x座標については 自由にとることができます。
この方程式は，(0, 2) を通り x軸に平行な直線を表します。
方程式 x = -1 によって，x座標は -1 に固定されて，
y座標については 自由にとることができます。
この方程式は，(-1, 0) を通り x軸に垂直な直線を表します。