弧度法

　点O を端点とする半直線OA があるとします。 ある基準の状態を 始線 と呼ぶことにします。
また，OA = r とします。

　半直線OA をO を中心に回転したものを動径 と呼ぶことにします。 このときの点A を点P と呼びなおすことにします。
点A の A からP までの移動距離(道程)を ℓ とします。 回転角POA が 1周に満たない場合は，扇形OAP の弧の長さ といってもいいでしょう。 ただし，左回りの場合を正とします。
　このとき，ℓ は r に比例しますから， \(\dfrac{\ell}{r}\) を この回転角の大きさ θ と定義します。
このような角の大きさの測り方を弧度法，従来の方法を度数法と呼びます。

　この定義により，1周は 2π，半周が π となります。 つまり，180度が π になります。 π ラジアン(radian) と呼びます。
有名角の度数法と弧度法の対応は次のとおりです。

　したがって，扇形OAB の中心角AOB が 1ラジアンであるとき， 半径と弧の長さは等しいです。
つまり，\({\rm OA}={\rm OB}=\stackrel{\frown}{\rm AB}\)
二等辺三角形OAB の辺AB の長さは OA より短いですから， 1ラジアン は度数法でいえば 60°よりも小さい角です。

　始線が θ だけ回転した動径を，角θ の動径と呼ぶことにします。
　例えば，\(\dfrac{\pi}{4}\) の動径は，\(\dfrac{9}{4}\pi\) の動径と一致します。
一般に 2つの動径 α, β は
α - β = 2πn なる整数 n が存在するとき，
同じ動径になります。
このとき，α を 代表と呼ぶことにします。
例えば，同一な動径を表す … \(-\dfrac{15}{4}\pi\),  \(-\dfrac{7}{4}\pi\),  \(\dfrac{\pi}{4}\),  \(\dfrac{9}{4}\pi\),  \(\dfrac{17}{4}\pi\),  \(\dfrac{25}{4}\pi\),  … は，\(\dfrac{\pi}{4}\) を代表する動径と呼ぶことにします。

　半径r, 中心角θ の扇形について考えてみます。
　半径が等しいとき，弧の長さℓ は中心角に比例します。
\(\ell : 2\pi r=\theta : 2\pi\) ですから， ℓ = rθ …① が成り立ちます。
　半径が等しいとき，面積 S も中心角に比例します。
\(S : \pi r^2=\theta : 2\pi\) ですから， \(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta\) …② が成り立ちます。
　また，① ② より
\(S=\dfrac{1}{2}r\ell\) が成り立ちます。