数列などで現れる，逐次，帰納，再帰の考えは，
数学的な見方・考え方のうちでも重要である。
(a+b)n の展開式を考察する。
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
(a+b)4 の展開式は，同類項を整理すると，
項は5つあるはずで，
\(a^4\), \(a^3b\), \(a^2b^2\), \(ab^3\), \(b^4\)
\((a+b)^4=(a+b)(a+b)^3=(a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\)
実験
| \(a(a+b)^3\)= |
a4 | +3a3b | +3a2b2 | +ab3 | |
| \(b(a+b)^3\)= |
| a3b | +3a2b2 | +3ab3 | +b4 |
| \((a+b)^4\)= |
a4 | +4a3b | +6a2b2 | +4ab3 | +b4 |
\((a+b)^n\) の \(a^rb^{n-r}\)の係数を \({}_nK_r\) とかく
どのような特徴があるだろうか。(予想・定式化)
例えば，
| (a+b)3 |
a3 |
a2b |
ab2 |
b3 |
| 係数の記号 |
3K3 |
3K2 |
3K1 |
3K0 |
| 係数 |
1 |
3 |
3 |
1 |
| (a+b)4 |
a4 |
a3b |
a2b2 |
ab3 |
b4 |
| 係数の記号 |
4K4 |
4K3 |
4K2 |
4K1 |
4K0 |
| 係数 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
- 両端は1 nKn = nK0 = 1
- 左右対称 nKr = nKn-r
- r≧2のとき
nKr = n-1Kr-1 + n-1Kr
3つめは例えば，
4K3 = 3K2 + 3K3
ということ
証明は展開の方法より直ち。
係数だけ抜き出せば，
次のような三角形の図ができる。
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1 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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3 |
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3 |
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1 |
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1 |
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4 |
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6 |
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4 |
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1 |
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1 |
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5 |
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10 |
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10 |
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5 |
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1 |
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| 1 |
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6 |
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15 |
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20 |
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15 |
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6 |
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1 |
これをパスカルの三角形という。