数列などで現れる，逐次，帰納，再帰の考えは，
数学的な見方・考え方のうちでも重要である。
(a+b)n の展開式を考察する。
arbn-r の係数を 前回は nKr とかいた。
これを二項係数という。
同類項をまとめないで，展開式を書いてみる
(a+b)2 = aa + ab + ba + bb
(a+b)3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb
(a+b)4 の展開式は，同類項をまとめないと
項は 16 あるはずで，
(a+b)4 =
a(aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb)+
b(aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb)
= aaaa + aaab + aaba + aabb + abaa + abab + abba + abbb
+ baaa + baab + baba + babb + bbaa + bbab + bbba + bbbb
\((a+b)^n\) の \(a^rb^{n-r}\)の係数を \({}_nK_r\) とかく
どのような特徴があるだろうか。(予想・定式化)
例えば，
(a+b)
5 の a
3b
2の係数は
10 であろう。
なぜなら，a 3文字 b 2文字の 5文字を一列に並べる場合の数は 10 とおりだからである。
これは
5C
3 である。
実際,(証明というより説明)
aaabb, aabab, abaab, baaab, aabba, ababa, baaba, abbaa, babaa, bbaaa
同じものを含む順列と見て \(\dfrac{5!}{3!2!}\)
1,2,3,4,5という5つの数から a を置く場所 3つ を選ぶと見ると，
組合せになる。
(a+b)n の展開式における
arbn-r の係数は nCr である。
これを二項定理という。
nCr = nKr だから，
nCr については，nKr と同じ式(漸化式)が成り立つ。
- 両端は1 nCn = nC0 = 1
- 左右対称 nCr = nCn-r
- r≧2のとき
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
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