数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。
私たちの，数列の問題での大きな目標は
項間関係(漸化式)から一般項を求めることと，
その数列の和を求めることである。
等差数列でもやってみたが，
高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。
漸化式\(a_{n+1}-a_n=d\) すなわち，\(a_{n+1}=a_n+d\)
逐次的(successive)計算
\(a_{2}=a_{1}+d\)
\(a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d\)
\(a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d\)
\(a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+4d\)
…
\(a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d\)
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(a_{n}=a_{n-1}+d\)
\(a_{n-1}=a_{n-2}+d\), \(a_{n}=a_{n-2}+2d\)
\(a_{n-2}=a_{n-3}+d\), \(a_{n}=a_{n-3}+3d\)
…
\(a_{3}=a_{2}+d\), \(a_{n}=a_{2}+(n-2)d\)
\(a_{2}=a_{1}+d\), \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
逐次的な計算は，項を次々と生成して(generate)いく感覚である。
帰納的な計算は，項の生成されていく過程を辿る感覚である。
等比数列でもやってみよう。
漸化式\(a_{n+1}=ra_n\)
逐次的(successive)計算
\(a_{2}=ra_{1}\)
\(a_{3}=ra_{2}=r^2\cdot a_{1}\)
\(a_{4}=ra_{3}=r^3\cdot a_{1}\)
\(a_{5}=ra_{4}=r^4\cdot a_{1}\)
…
\(a_{n}=ra_{n-1}=r^{n-1}\cdot a_{1}\)
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(a_{n}=ra_{n-1}\)
\(a_{n-1}=ra_{n-2}\), \(a_{n}=r^2\cdot a_{n-2}\)
\(a_{n-2}=ra_{n-3}\), \(a_{n}=r^3\cdot a_{n-3}\)
…
\(a_{3}=ra_{2}\), \(a_{n}=r^{n-2}\cdot a_{2}\)
\(a_{2}=ra_{1}\), \(a_{n}=r^{n-1}\cdot a_{1}\)