\(\overrightarrow{\rm AB}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{\rm AC}=\vec{c}\) として，
A を基点とする外心の位置ベクトルを \(\vec{p}\) とする。
正射影の考えを使う。
ABの中点をMとすると，三角形OAMは直角三角形で，
\({\rm AM}=\dfrac{1}{2}{\rm AB}=\dfrac{1}{2}\left|\vec{b}\right|\)
\({\rm AM}=|\vec{p}|\cos\angle{\rm OAB}=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\)
よって，\(\vec{p}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{2}\left|\vec{b}\right|^2\)
同様に，\(\vec{p}\cdot\vec{c}=\dfrac{1}{2}\left|\vec{c}\right|^2\)
\(\vec{p}=s\vec{b}+t\vec{c}\)と置いて，連立方程式を解く。
\(\varDelta=|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2-(\vec{b}\cdot\vec{c})^2\),
\(\varDelta_b=\dfrac{1}{2}|\vec{c}|^2\left(|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{c}\right)\),
\(\varDelta_c=\dfrac{1}{2}|\vec{b}|^2\left(|\vec{c}|^2-\vec{b}\cdot\vec{c}\right)\) と置いて
\(s=\dfrac{\varDelta_b}{\varDelta}\),
\(t=\dfrac{\varDelta_c}{\varDelta}\)