MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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逆の考えは、とても基本的な考えである。
数学には逆の考えがふたつある。
ひとつは，逆の命題。
ふたつめは，
逆の対応
である。
数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
高校で考察する関数も，
表を用いて書くのがよいと思う。
xの2乗
| \(x\) |
… |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(a\) |
\(-a\) |
| \(x^2\) |
… |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
… |
\(a^2\) |
\(a^2\) |
この逆対応が，平方根である。
\(x^2:\ x\mapsto x^2\)の対応が2対1であるから，
逆対応は1対2である。
すなわち，
2乗して\(a\)となる数を\(a\)の平方根という。
-
\(a\)が正の数のときは，
正負1つずつあって，
正のものを\(\sqrt{a}\)とかくと，
負のものは\(-\sqrt{a}\)である。
\(\sqrt{a}\)は，\(a\)の平方根のうちのひとつである。
-
0の平方根は0だけである。
-
\(a\)が負の数のときは，
表で考察して分かるとおり，平方根は実数にはない。
新しい記号が出てきた。確認しよう。
\(\sqrt{a}\)はあくまで，ひとつの数を表している。
例
4の平方根は\(2\), \(-2\)である。
5の平方根は\(\sqrt{5}\), \(-\sqrt{5}\)であり，これは有理数ではない。
9の平方根は\(\sqrt{9}\), \(-\sqrt{9}\)であるが，
\(\sqrt{9}\)は簡単にできて3
-3の平方根は実数にはない。
12の平方根は\(\sqrt{12}\), \(-\sqrt{12}\)であるが，
\(\sqrt{12}\)は\(2\sqrt{3}\)と表すことができる。
例
\(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}=\sqrt{75}\)
例
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)は\(\sqrt{5}\)より大きい。
なぜならば，\((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}\)
実数としての性質も大切である。
\(x_1 < x_2\)である2つの正の数\(x_1\), \(x_2\)に対して，
\({x_1}^2 < {x_2}^2\)であったから，
2つの正の数\(a\), \(b\) に対して，
\(a < b\) ⇔ \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\)
例
\(2=\sqrt{4}<\sqrt{6}<\sqrt{9}=3\)なので，
\(3+\sqrt{6}\)は5より大きく，6より小さい。
\(3-\sqrt{6}\)は正の数であるが，1より小さい。
| \(x\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
12 |
… |
| \(\sqrt{x}\) |
0 |
1 |
\(\sqrt{2}\) |
\(\sqrt{3}\) |
2 |
\(\sqrt{5}\) |
\(\sqrt{6}\) |
\(\sqrt{7}\) |
\(2\sqrt{2}\) |
3 |
\(2\sqrt{3}\) |
… |
\(2\sqrt{3}\)について考えてみる。
まず，\((2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=12\)であるから，
\(2\sqrt{3}=\sqrt{12}\)である。
大小関係なら，\(\sqrt{12}\)のほうがよいときがある。
\(1 < \sqrt{3} < 2\)だから，\(2 < 2\sqrt{3} < 4\)であるが，
\(3 < \sqrt{12} < 4\)のほうがよりよい評価である。
\(2\sqrt{3}\)がよい場面を紹介する。
\(\sqrt{12}+\sqrt{27}\) や\(\sqrt{12}\cdot\sqrt{27}\),
\(\sqrt{12}\cdot\sqrt{8}\) など計算の場面であるが，
集合Aを\(A=\{a+b\sqrt{3}|\ a, bは有理数\}\)とすると，
\(\sqrt{12}\in A\), \(\sqrt{27}\in A\), だが，\(\sqrt{6}\not\in A\)
指数関数を考える際に，
\(2^1=2\), \(2^2=4\), であるが，\(2^\frac{3}{2}=2^{1+\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}\)
と見ることも，数の感覚を豊かにする。
立方根へ つづく