逆の考えは、とても基本的な考えである。
数学には逆の考えがふたつある。
ひとつは，逆の命題。
ふたつめは，逆の対応である。
数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
高校で考察する関数も，
表を用いるがよいと思う。
xの4乗
| \(x\) |
… |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(a\) |
\(-a\) |
| \(x^4\) |
… |
81 |
16 |
1 |
0 |
1 |
16 |
81 |
256 |
… |
\(a^4\) |
\(a^4\) |
この逆対応が，4乗根である。
\(x^4:\ x\mapsto x^4\)の対応が2対1であるから，
逆対応は1対2である。
すなわち，
n乗してaとなる数をaのn乗根という。
nが偶数のとき，
-
aが正の数のときは，
正負1つずつあって，
正のものを\(\sqrt[n]{a}\)とかくと，
負のものは\(-\sqrt[n]{a}\)である。
\(\sqrt[n]{a}\)は，aのn乗根のうちのひとつである。
複素数ではn個ある。
-
0のn乗根は0だけである。
-
aが負の数のときは，
表で考察して分かるとおり，n乗根は実数にはない。
nが奇数のとき，
-
aが正の数のときは，
実数がひとつあって，\(\sqrt[n]{a}\)とかく。
複素数ではn個ある。
-
0のn乗根は0だけである。
-
aが負の数のときは，
実数がひとつあって，\(\sqrt[n]{a}\)とかく。
複素数ではn個ある。
また，\(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\)
新しい記号が出てきた。確認しよう。
\(\sqrt[n]{a}\)はあくまで，ひとつの数を表している。