141129 初版 141129 更新
微分と積分は互いに逆の操作である。
そのことに，ニュートンとライプニッツがほぼ同時に独自に気付いた。
元の数列の階差数列が導関数に例えられるが，
階差数列の項の和をとると元の数列の一般項が求められることは，
微分と積分が互いに逆だということを連想させる。
\(F(x)=\displaystyle{\int_a^xf(t)dt}\) とする。
定積分の定義によって，
\(mh\leqq F(x+h)-F(x)\leqq Mh\)
(ここで，m, M は x と x+h の間における f(x) の最小値と最大値)
極限を考えると
\(\displaystyle{F^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)}\)
教科書の公式風に書けば，
\(\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)}\)
関数 f(x) に対して，
導関数が f(x) である関数 F(x),
すなわち，
F'(x) = f(x) を満たす F(x) を
f(x) の原始関数という。
C を定数として f(x) の原始関数のひとつを F(x)とすれば，
(F(x) + C)' = f(x)
原始関数の族を f(x) の不定積分という。
\(\displaystyle{\int f(x)dx = F(x)+C}\)
定積分の定義によって，
\(\displaystyle{\int_a^a f(x)dx = 0}\)
F(x) を f(x) の原始関数とすると，
\(\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)}\)
なぜなら，
\(S(x)=\displaystyle{\int_a^x f(t)dt}\)
とおくと
S'(x) = f(x)
つまり，f(x) の原始関数のひとつを F(x) とすれば，
S(x) = F(x) + C (Cはある定数)
S(a) = 0 より C = -F(a)
よって，S(b) = F(b) - F(a)
このように，原始関数を使って積分する技術を積分法という。