積分法 1

f(x) の重み付き和を 積分という。
f(x) のグラフの符号付き面積である。

微分して f(x) となる関数 F(x) を f(x) の原始関数といった。
F'(x) = f(x)
\(\displaystyle{\int f(x)dx=F(x)+C}\) (C は定数)

\(\displaystyle{\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)}\)

積分の性質と，微分の逆操作として，
機械的に積分することを考える。
そして，不定積分の値から定積分を求める。
このような技術を積分法という。

k は x に依らない定数とする。
\(\displaystyle{\int(f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx+\int g(x)dx}\)
\(\displaystyle{\int(f(x)-g(x))dx = \int f(x)dx-\int g(x)dx}\)
\(\displaystyle{\int kf(x) dx = k\int f(x)dx}\)

\(\displaystyle{\int dx = x + C}\) (Cは定数)

\(\displaystyle{\int x dx =\dfrac{1}{2}x^2 + C}\) (Cは定数)

\(\displaystyle{\int x^2 dx = \dfrac{1}{3}x^3 + C}\) (Cは定数)

\(\displaystyle{\int x^3 dx = \dfrac{1}{4}x^4 + C}\) (Cは定数)

一般に n を自然数とする。
\(\displaystyle{\int x^n dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + C}\) (Cは定数)

\(\displaystyle{\int (3x^2+x-1) dx = x^3+\dfrac{1}{2}x^{2} -x+ C}\) (Cは定数)