次のことが成り立つ。
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
\(k\vec{a}+l\vec{a}=(k+l)\vec{a}\)
\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)
また，ベクトルの等式においては，
k ≠ 0 のとき，\(k\vec{x}=\vec{a}\) ⇔ \(\vec{x}=\dfrac{1}{k}\vec{a}\)
\(\vec{a}+\vec{x}=\vec{b}\) ⇔ \(\vec{x}=\vec{b}-\vec{a}\)
したがって，ベクトルの計算は，文字式の計算のようにできる。
例えば，
\(3(\vec{a}-\vec{b})+2(-2\vec{a}+\vec{b})\) は
\(-\vec{a}-\vec{b}\) と等しい。
\(\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}
=k(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OP}
=(1-k)\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm OB}\)