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141124 初版 141124 更新

有理数の小数展開

ここでは,有理数の小数展開について考える。
整数でない有理数の小数表示は,有限小数,循環小数のいずれかである。

例1 手順を示したもの

a1=177 を帯分数で表すと, 2+37 である。 (17 = 7×2 + 3)
a1小数部分37 である。
10倍する(a2 とおく)と 0<a2=307<10
a2 の整数部分と 小数部分を考えることができる。
n an pn: anの整数部分 qn: anの小数部分
1 177 2 37
2 10q1=307 4 27
3 10q2=207 2 67
4 10q3=607 8 47
5 10q4=407 5 57
6 10q5=507 7 17
7 10q6=107 1 37
8 10q7=307 4 27
qn の分子は, 法を7 とする,初項 3, 公比 10 の 等比数列である。
3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, …
37 を 10進小数に展開すると,
428571を繰り返す循環節の長さ6 の循環小数である。

例2

a1=177 を帯分数で表すと, 2+37 である。 (17 = 7×2 + 3)
a1 の2進展開は,整数部分は 10(2)である。
a1小数部分37 である。
2倍する(a2 とおく)と 0<a2=67<2
a2 の整数部分と 小数部分 を考えることができる。
n an pn: anの整数部分 qn: anの小数部分
1 177 2=10(2) 37
2 2q1=67 0 67
3 2q2=127 1 57
4 2q3=107 1 37
qn の分子は, 法を7 とする,初項 3, 公比 2 の 等比数列である。
3, 6, 5, 3, 6, …
37 を 2進小数に展開すると,
011を繰り返す循環節の長さ3 の循環小数である。