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151115 初版 160424 更新
放物線 ① y=x2+4x+5
放物線 ② y=x2−2x
① の頂点は (-2, 1),
② の頂点は (1, -1) である。
② の頂点は ① の頂点を,
x軸方向 3, y軸方向 -2 平行移動 … ③ した点である。
また,点(0,5) は ① 上にあり,
それを ③ だけ移動した点(3, 3) は 放物線 ② 上にある。
放物線 ① 上の任意の点 A(a, b) を
③ だけ移動した 点 A'(a', b') は,
必ず 放物線 ② 上にあることが,
次のようにして示される。
b=a2+4a+5 … ④
a′=a+3 … ⑤,
b′=b−2 … ⑥
a′2−2a′
=(a+3)2−2(a+3) (⑤ を用いた)
=(a2+4a+5)−2=b−2 (④ を用いた)
=b′ (⑥ を用いた)
つまり,b′=a′2−2a′
よって,点 A' は 放物線 ② 上にあることが示された。
したがって,放物線 ② は 放物線 ① を
x軸方向 3, y軸方向 -2 平行移動した曲線である。
放物線 ① y=x2+4x+5を
x軸方向 3, y軸方向 -2 平行移動 … ③ した曲線とする。
放物線 ④ の方程式を求めたい。
放物線 ④ 上の点 (x, y) の満たすべき,
x, y の関係式を求めるということである。
設定から ④ 上の点 (x, y) を
x軸方向 -3, y軸方向 2 平行移動 した点 (x', y') は
① 上の点である。
すなわち,y′=x′2+4x′+5
ところで,x′=x−3, y′=y+2 だから,
y+2=(x−3)2+4(x−3)+5
つまり,① の方程式の,
x を x-3 に,y を y+2 に置き換えればよい。